Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS

Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus serta beberapa contoh soal.

1. Perkalian Sinus dan Kosinus

Sebelumnya bacalah terlebih dahulu mengenai Trigonometri untuk mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:

        cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

        cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

        sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

        sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.

        cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

        cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh

        cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

Jadi, perkalian cosinus dan cosinus adalah :
 

          cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)

          cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)

Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :

cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β

Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :

       sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)

       sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :

       sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

Jadi, perkalian sinus dan cosinus adalah :

        sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)

        sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)

Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh

        sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β

Jadi, perkalian cosinus dan sinus :

       

Contoh Soal 1 :

Hitunglah:

a. cos 75° cos 15° 

b. –2 sin 15°sin 75°

Pembahasan :

a. cos 75° cos 15°    = 1/2 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)

                                 = 1/2 (cos 90 + cos 60)°

                                 = 1/2 (0 + 1/2) 

                                 = 1/4

b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°

                                 = cos 90° – cos (–60)°

                                 = cos 90° – cos 60°

                                 = 0  - 1/2)  

                                 = - 1/2

Contoh Soal 2 :

Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.

Penyelesaian :

4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]

                                          = 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]

                                          = 2 sin 72°[0 + sin72°]

                                          = 2 sin cos 2 (72°)

                                          = 1 – cos2(72°)

                                          = 1 – cos144°

Contoh Soal 3 : 

Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah ....

Penyelesaian :

4 sin 36° cos 72° sin 108°= 4 sin 36° cos 72°sin 108° 

                                         = 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] 

                                         = 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°] 

                                         = 2 sin 36°[0 + sin 36°] 

                                         = 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)

                                         = 1 – cos 72°